可转位球头立铣刀是一种用于加工空间自由曲面的*刀具。与整体式球头立铣刀相比，可转位球头立铣刀不仅具有可转位刀具的所有优点，而且由于采用各搭接刀片分段切削的加工方式，因此可显著改善刀刃的非自由切削状态，减小非自由系数，从而减小切削力[1]。文献[2]对可转位球头立铣刀端刃几何造型的基础理论进行了研究。但对于可转位球头立铣刀周刃与端刃的搭接方法，国内外文献资料中还未见相关报道。本文在文献[2]的理论基础上，建立了可转位球头立铣刀周刃与端刃搭接方法的数学模型，利用该模型可计算出搭接处附近加工表面的几何形状误差以及周刃修形的控制参数。
图1 坐标系
图2 刀片前刀面
1 端刃与周刃搭接处加工表面几何形状误差的计算建立图1所示坐标系。设可转位球头立铣刀半径为r，刃倾角为ls。刀片前刀面初设为正方形(正方形刀片便于加工，且四条边均可作为刃口，刀片利用率高)，正方形边长为a(见图2)。已知端刃在搭接处的幺切矢[2]为q=0时的t0，即 t0=(0， 1 ， m )t
(1+m2)½ (1+m2)½
式中，m=cotw1(w1为螺旋角)。由上式可知t0垂直于x轴。 设圆柱体参数方程为 r=(x，y，z)t=(rcosq，rsinq，v)t (1)
式中：q——角度变量 v——圆柱体高度变量(在图2中为负值) 令n为刀片切削刃的中点，且位于圆柱面上(见图1)。设cd方向矢量为p，假定周刃旋转后在搭接处的切矢与t0平行，因cd为直线刃，因此在同一坐标系中必有 t0×p=0 (2)
取p为t0，则其必满足式(2)。过n(rcosq，rsinq，v)点的直线cd 的方程为 { x=rcosq
y-rsinq = z-v
1/(1+m2)½ m/(1+m2)½
(3)
由式(3)可得 { x=rcosq
y=rsinq+ z-v
m
(4)
由式(4)可得 x2+y2=(rcosq)2+(rsinq+ z-v )
m
(5)
令式(5)中x=0，可得直线cd(切削刃)绕oz轴旋转后的单叶双曲面轴截面方程为 y2-(rsinq+ z-v )2=(rcosq)2
m
(6)
为便于计算，令c点在xoy平面上(见图1)，则切削刃cd在z轴上的投影长度为-2v，且-2v=acosls，则 v=-(acosls)/2 (7)
将式(7)代入式(6)，可得 y2-( z+mrsinq+0.cosls )2=(rcosq)2
m
(8)
如图3所示，除n 点外，c、d 两点因不在圆柱面上，将在z=0或z=2v处产生加工表面zui大形状误差。令ymax为c 点旋转后的单叶双曲面轴剖面在y轴上的zui大正坐标值，将z=0代入式(8)可得 ymax=[(rsinq+ a cosls)2+r2cos2q]½
2m
(9)
显然，在c 点产生的加工表面几何形状误差zui大值为 dmax=ymax-r (10)
图3 旋转曲面的轴剖面
2 减小周刃加工表面几何形状误差的方法周刃修形角f 的计算 周刃加工的理想状态是d、n、c 三点均在前刀面与柱面相交的椭圆线上(此时dmax=0)，而周刃加工产生表面几何形状误差的原因是刀刃上c、d两点不在圆柱面上(见图1)，而图2中cc为刀片上凸出椭圆线的多余部分，在加工中将导致“多切”。由于刀片的椭圆刃线加工难度较大，因此考虑用直线nc代替对应的椭圆曲线。如图2所示，如果将cnd 段从n 点两边倒角f，使cnd段刀刃的形状成为折线dnc，明显会减小由c、d两点引起的加工表面几何形状误差。采用这种方法既可部分消除加工表面形状误差，又不会过多增加刀片的制造难度。 尽管cc线未必一定与oz轴垂直，但为了部分消除cc段引起的加工表面几何形状误差，仍可近似以dmax作为cc值。这样，倒角后的刀片nc段旋转后的加工表面zui大几何形状误差应有所减小。 在图1、图2中，由直角三角形ncc可确定倒角f 的大小为 tanf= 2 {[(rsinq+ a cosls)2+r2sin2q]½}-r
a 2m
(11)
式(11)既是周刃修形角f 的求解公式，也是控制修形参数的指标，其值与r、a、ls、m 有关。 c点zui大表面形状误差的计算 求解出周刃修形角f 后，即可计算在c点(见图2)产生的zui大表面形状误差。连接cd，与其对称轴交于点n'，c点产生的d'max相当于将点n移动到点n'后cd在c点产生的zui大表面形状误差值，此时应将cd当作假想刀片，但此时旋转半径不是r，而是(r-dmax)。如用(r-dmax)代替式(9)中的r，即可求得c点旋转后的单叶双曲面轴剖面在y轴上的zui大坐标值，进而求得其zui大表面形状误差值为 d'max=[(rsinq-dmaxsinq+ a cosls)2+(r-dmax)2sin2q]½-r
2m
(12)
用直线nc和nd代替对应的弧线后(见图2、图3)，将产生“少切”现象。令此时产生的负误差为dc0，由于c0处于nc中点处，求dc0时，相当于刀片半径r 变为(r-0.5dmax)，且刀片长度a 变为0.，代入式(9)可得c0处旋转后的单叶双曲面轴剖面在y轴上的zui大坐标值，令其为yc0，则 yc0=[(rsinq-0.5dmaxsinq+ a cosls)2+(r-0.5dmax)2sin2q]½
2m
(13)
将式(13)代入式(10)可得 dc0=yc0-r (14)
3 刀刃修形对端刃与周刃搭接处的影响根据上述分析可知，仅考虑端刃与周刃在搭接处的切矢p与t0平行，将产生zui大表面形状误差dmax，此时将产生“多切”；对切削刃进行修形后，误差将减少为d'max，但在两个刀刃的搭接处附近其切矢却不一定平行，将产生“少切”dc0，而且此时需要对刀片轴向进行微调，使c仍位于xoy 平面上。由于铣刀有进给运动，因此“少切”优于“多切”，因为“少切”的部分可由周刃上不产生加工表面几何形状误差的n 点再切除。减少刀刃长度a 和增大铣刀半径r 均可减小两个刀刃加工出的曲面轴剖面在搭接处的切矢夹角。
图4 周刃与端刃的搭接
4 夹角a'的计算a'为周刃修形后加工出的回转曲面与端刃加工出的回转曲面的轴剖面在搭接处附近的夹角。如图4所示，端刃加工出的回转曲面的轴剖面为半圆，其在点= 处的切线为铅垂线，因此只需求解周刃加工出的回转曲面的轴剖面曲线gfe'与y 轴的交点e'与铅垂线的夹角即可。 先求e'点的切线斜率值。 如图4所示，已知双曲线过e'、f、g 点，且在yoz坐标系中的坐标分别为e'(r+d'max，0)，f(r+dc0，-0.2cosls)，g(r +d'max，-0.cosls)。考察y 轴正向部分的双曲线，参考式(6)，令其形式为 y2 - (z-t)2 =1
a2 b2
(15)
将e'、f、g 的坐标值代入式(15)中，可得 t=-(acosls)/4 (16)
a2=(r+dc0)2 (17)
b2= (r+dc0)2a2cos2ls
16(d'max-dc0)(2r+d'max+dc0)
(18)
设a为切线与坐标系中y 轴正向的夹角，则斜率为tana，由式(15)可得双曲线在e'点的斜率为 tana=- b2+(r+d'max)
a2t
(19)
将式(16)、(17)、(18)代入式(19)，可得 a=arctan [ acosls(r+d'max) ]
4(d'max-dc0)(2r+d'max+dc0)
(20)
由于a'是切线与z轴正向的夹角，故 a'=90°-a (21)
式(21)即为周刃修形f 角后加工出的回转曲面与端刃回转曲面的轴剖面在搭接处附近的夹角a'的求解公式。d'max和a'是度量搭接处附近加工表面几何形状误差的两个指标，a'值越小，表明在搭接处附近加工出的旋转曲面在轴截面内的曲线夹角越小；d'max越小，表明在搭接处的吻合程度越好。 5 计算实例设刀片周刃半径r=25mm，刃长a=12mm，w1=20°，ls=15°。计算dmax、d'max、f、dc0及a'的值。 令q=45°，由m=cotw1可得：m=2.7475。 由式(10)可得：dmax=1.5335mm。 由式(11)可得：f=14.34°。 由式(12)可得：d'max=1.45×10-4mm。 由式(14)可得：dc0=-0.00984mm。 由式(21)可得：a'=0.395°。以上计算表明：可转位球头立铣刀的周刃刀片采用对称的折线型切削刃代替直线型切削刃可显著减小搭接处加工表面的几何形状误差，使周刃和端刃旋转后在搭接处实现近似一阶光滑连接，且刀片易于制造。刀片前刀面上原正方形的四个边均可用作切削刃，使用时只需旋转90°即可，即一个刀片可相当于四个直线刃单刀片使用。采用该搭接方法既可提高刀片的利用率，又易于实现刀片的标准化，因此具有良好的经济性和实用价值。