斐波那契数列的一些有趣的数值定律
一:斐波那契数列指的是这样一个数列:
斐波那契数列是以中世纪欧洲比萨共和国的意大利数学家列奥纳多·斐波那契的名字命名的，他生于公元1170年，死于1250年。
斐波那契数列在数学、物理、化学等学科中有许多应用，在生活和自然中也有许多斐波那契现象，如人体的黄金分割、蜂群的繁殖、螺旋和贝壳、植物的生长，如松果、菠萝和雏菊的花瓣、向日葵花盘的排种等。
斐波那契序列是如下序列:
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946…
本系列从第3项开始，每项等于前两项的总和。在数学上，斐波那契数列是由递归定义的:f(1)=1，f(2)=1，f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n ≥ 3，n ∈ n*)。
f(1)1
f(2)1
f(3)2
f(4)3
f(5)5
f(6)8
f(7)13
f(8)21
f(9)34
f(10)55
f(11)89
f(12)144
……
第二:斐波那契数列的一些有趣的数字定律
许多有趣的数字定律可以在斐波那契数列中找到:
1.随着系列项目数量的增加，前一项与后一项的比值越来越接近黄金分割值0.618
1除以1等于1
1除以2等于0.5
2除以3等于0.66666667
3除以5等于0.6
5除以8等于0.625
8除以13等于0.615384615
13除以21等于0.619047619
21除以34等于0.617647059
34除以55等于0.618181818
55除以89等于0.617977528
89除以144等于0.618000。
144除以233等于0.618022。
233除以377等于0.618000。
377除以610等于0.61800。
610除以987等于0.618033
987除以1597等于0.61800。
1597除以2584等于0.6184。
2584除以4181等于0.6181。
4181除以6765等于0.61800。
6765除以10946等于0.6186。
10946除以17711等于0.61800
……
2.随着系列项目数量的增加，后一项与前一项的比值越来越接近1.618
1除以1等于1
2除以1等于2
3除以2等于1.5
5除以3等于1.666667
8除以5等于1.6
13除以8等于1.625
21除以13等于1.615385
34除以21等于1.619048
55除以34等于1.617647
89除以55等于1.618182
144除以89等于1.617978
233除以144等于1.618056
377除以233等于1.618026
610除以377等于1.618037
987除以610等于1.618033
1597除以987等于1.618034
2584除以1597等于1.618000
4181除以2584等于1.618000
6765除以4181等于1.618000
10946除以6765等于1.6185
……
3.比较1和2，发现1.618的倒数是0.618
4.一个数除以另外两个更高位置的数的近似近似值是0.382
1除以2等于0.5
1除以3等于0.333333333
2除以5等于0.4
3除以8等于0.375
5除以13等于0.384615385
8除以21等于0.380952381
13除以34等于0.3822222。
21除以55等于0.381818182
34除以89等于0.3822222。
55除以144等于0.3819444
89除以233等于0.3819722
144除以377等于0.381。
233除以610等于0.381777
377除以987等于0.3811。
610除以1597等于0.3817
987除以2584等于0.3814。
1597除以4181等于0.3811
2584除以6765等于0.3815。
4181除以10946等于0.3816
6765除以17711等于0.3811
10946除以28657等于0.388。
17711除以46368等于0.388。
28657除以75025等于0.388。
46368除以121393等于0.388。
……
5.比较1和4，发现0.618+0.382=1
6.一个数除以另外三个更高位置的数的近似近似值是0.236
1除以3等于0.333333333
1除以5等于0.2
2除以8等于0.25
3除以13等于0.230769231
5除以21等于0.238095238
8除以34等于0.235294118
13除以55等于0.236336
21除以89等于0.23595056
34除以144等于0.2361111111
55除以233等于0.236052
89除以377等于0.2307277
144除以610等于0.23000。
233除以987等于0。23250 . 989999999995
377除以1597等于0.2350。
610除以2584等于0.23604
987除以4181等于0.2350。
1597除以6765等于0.2350。
2584除以10946等于0.2330。
4181除以17711等于0.2331
6765除以28657等于28657。
10946除以46366等于0.23000。
17711除以75025等于0.231。
28657除以121397等于0.23000。
……
7.从第二项开始，每个奇数项的平方比前两项的乘积多1，每个偶数项的平方比前两项的乘积少1。(注:奇数项和偶数项指的是项数的奇偶性，而不是指数列中数的奇偶性)，例如:
奇数项目:
2^2 = (1*3) + 1
5^2 = (3*8) + 1
……
偶数术语:
3^2 = (2*5) - 1
8^2 = (5*13) -1
……
8.前n项和f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1
例如，1+1+2+3=8-1 (n=4)
9 . f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)= f(2n)
例如，1+2+5 = 8 (n = 3)
10 . f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n)= f(2n+1)-1
例如，1+3+8+21=34-1
11.平方和[f(1)]2+[f(2)]2+…+[f(n)]2 = f(n)f(n+1)
例如，1 2+1 2+2 2+3 2 = 3 * 5 (n = 4)
12.-f(1)+f(2)-…+(-1)^n?f(n)=(-1)^n?[f(n+1)-f(n)]-1
例如，-1+1-2+3-5+8 =(-1)6 *(13-8)-1 = 4(n = 6)
13 . f(m+n-1)= f(m-1)f(n-1)+f(m)f(n)
例如，f(5+3-1)= f(4)* f(2)+f(5)* f(3)= 3 * 1+5 * 2 = 13
14.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)?f(n+1]
例如，52 =(-1)(5-1)+f(5-1)f(5+1)= 1+3 * 8 = 25(n = 5)
15 . f(2n-2)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2
例如，f(2 * 5-2)=[f(5)]2-[f(5-2)]2 = 5 2-2 2 = 21(n = 5)
16.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)
例如，3 f (6) = f (8)+f (4) = 21+3 = 24 (n = 6)
17 . f(n-1)* f(n+2)-f(n)* f(n+1)=(-1)^n(n≥2))
例如，2 * 8-3 * 5 = 1 (n = 4)
18.第3、6、9和12项的个数可以被2整除；项目4、8、12等的编号。可以被3整除；第5项和第10项的个数可以被5整除；等等。
19.从斐波那契数列中随机选择10个连续的数字，它们的和等于10个数字中第7个数字的11倍。
20.斐波那契数列的第n项也表示集合{1，2，…，n}中不包含相邻正整数的子集的数目。
例如，n=4，斐波那契数为3，分别有3组{1，3}、{2，4}、{1，4}。
斐波那契数列中还有许多其他的定律，感兴趣的人可以继续学习。
文章来源：www.atolchina.com