逆向思维突破函数图象旋转难题
在几何综合题中，遇到旋转变换实属正常，然而，将反比例函数或二次函数图象旋转之后，再进行相关计算或证明，看似超出了初中范畴，但是，若在限定条件下，例如旋转角为特殊角，利用初中阶段的知识，完全能够求解，当然，难度相应的也不低。起码图象就不好画，怎么办呢？
题目
如图，在平面直角坐标系中有三点a(2,4),b(3,5),p(a,a)，将线段ab绕点p顺时针旋转90°得到cd，其中a，b对应点分别为c，d
(1)当a=2时
①在图中画出线段cd，保留作图痕迹，并直接写出c，d两点的坐标；
②将线段cd向上平移m个单位，点c，d恰好同时落在反比例函数y=k/x的图象上，求m和k的值；
(2)若a=4，将函数y=k/x（x>0）的图象绕点p顺时针旋转90°得到新图象，直线ab与新图象的交点为e，f，则ef的长为________（直接写出结果）。
解析：
(1)①按要求作图，p为旋转中心，依次连接ap和bp，然后过点p分别作它们的垂线，再截取pc=pa，pd=pb即可，如下图：
由于是直接写出结果，因此可以采用稍加“快捷”的方法。ap=cp=2，且pc与x轴平行，于是c(4,2)，比较a与b的坐标，发现横纵坐标分别+1，于是对应的c与d的坐标，横坐标+1纵坐标-1，即可得到d(5,1)；
②将上述c，d向上平移m个单位后，分别为c(4,2+m)，d(5,1+m)，它们均在反比例函数图象上，于是它们横纵坐标之积相等，得到4(2+m)=5(1+m)，解得m=3，最后求得k=20；
(2)将双曲线绕点p(4,4)旋转，这个作图难度就不小，即使侥幸作出精确的图形，旋转后的解析式已经超出了初中理解的范畴，如果顺着题目的叙述去思维，已经走入了死胡同。破解的办法就是逆向思维，顺时针旋转双曲线，ab不动，和逆时针旋转ab，双曲线不同，效果是一样的。基于这个思考，我们将ab绕点p逆时针旋转90°，如下图：
借助第①问的方法，我们很容易得到a(4,2)和b(3,3)，这样便可求出ab的解析式为y=-x+6，再和反比例函数y=4/x联立，可求出交点e，f的横坐标，分别为3+2√5的3-2√5，同时ef与x轴夹角为45°，可构造等腰直角三角形，利用边长关系来求ef=2√10，当然，利用根与系数的关系同样可求出ef=2√10，实在不会变通的，求出它们的纵坐标后再用两点间距离公式也行。
解题反思
如何想到逆向思维？肯定是正向思维遇到无法解决的障碍了，同时，这个所谓无法解决，是真的无法解决，而不是由于个人能力问题导致的无法解决。如果这一点判断失误，即使想到了逆向思维，最终仍然不得要领。
将函数图象进行旋转，哪怕是特殊角90°，依然不是初中生能精确作图的，没有图，再好的思路也出不来。同时，旋转后的函数图象，其解析式也是初中生无法解决的，正由于这两个因素，导致问题无法解决，所以旋转函数图象，遇到了无法克服的障碍。
好在这道题目是相对运动，函数动，直线ab不动，既然函数不能动，那么只好直线ab动，而且要反方向动，因此才想到将直线ab绕点p逆时针旋转90°，剩下的问题就简单多了。
逆向思维，一窍难得。