争取抚养权是能一直起诉的。虽然我国法律规定，民事诉讼适用两审终审制度，但涉及抚养权的义务是随子女生活状态不断变化的，只要存在法定变更情形，当事人就可以依法起诉，主张变更抚养权。抚养权争夺能一直起诉吗的法律依据
《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第五十六条具有下列情形之一，父母一方要求变更子女抚养关系的，人民法院应予支持：（一）与子女共同生活的一方因患严重疾病或者因伤残无力继续抚养子女；（二）与子女共同生活的一方不尽抚养义务或有虐待子女行为，或者其与子女共同生活对子女身心健康确有不利影响；（三）已满八周岁的子女，愿随另一方生活，该方又有抚养能力；（四）有其他正当理由需要变更。