图1 零输入响应实例
如图 1 所示电路，在 时， 。在开关闭合后的初瞬，即 时，有 ，电感元件储存的磁场能量为 。当开关闭合后， rl 串联电路无激励源作用，电感中的磁场能量将逐步释放直至被电阻 r 消耗完毕为止。在此过程中出现的电感电流 、电阻电压 和电感电压 即为电路的零输入响应。
对一个 n 阶动态电路，如果换路后电路中无输入激励，则其输入 - 输出方程将变为齐次微分方程，具有如下形式：
( 1 )
其中， 为待求的输出变量。可见，动态电路的零输入响应即齐次微分方程的解。
根据高等数学知识，求解 ( 4-6-1 ) 式 n 阶齐次微分方程，可以先列出其特征方程：
( 2 )
设此特征方程的 n 个特征根分别为 ，且所有的根都互不相等，则 ( 1 ) 式的通解为
( 3 )
这就是 n 阶动态电路零输入响应的一般形式。式中 是由齐次微分方程式 ( 1 ) 的 n 个初始条件 决定的积分常数。
由式 ( 3 ) 可以看出，特征根 决定了动态电路零输入响应的性质。如果特征根都是负实根，则响应随时间的增长而衰减，且特征根的绝对值越大，衰减越快；如果特征根中有复数根，则将出现振荡情况。在物理上，特征根 取决于电路的拓扑结构及电路中元件参数的取值情况。因此，特征根 又被称为电路零输入相应的固有频率或自然频率。
【 例1 】 求解例图2 中所给电路的零输入响应 。 ，
， ， a ， v 。
例图2 零输入响应计算实例
解：例图2 中电路在无输入激励情况下的积分微分方程和微分方积分别为
( 4 )
( 5 )
特征方程为
可解得特征根为
，
该微分方程的通解为
确定常数 需要初始条件 、 。根据题设，易知：
， v
在 时刻，将 ， 代入 ( 4 ) 式，得
解得： a/s
利用两个初始条件，可得
，
联立求解可得： ，
故电路的零输入响应为