处理事业单位人员醉驾问题方式是：酒后驾驶机动车的会被公安机关交通管理部门处罚，如果情节严重构成犯罪的，依法还要追究其刑事责任，事业单位会对醉驾的职工作出直接开除公职的决定以示惩罚与警醒。
法律依据：根据《中华人民共和国道路交通安全法》第九十一条规定，饮酒后驾驶机动车的，处暂扣六个月机动车驾驶证，并处一千元以上二千元以下罚款。因饮酒后驾驶机动车被处罚，再次饮酒后驾驶机动车的，处十日以下拘留，并处一千元以上二千元以下罚款，吊销机动车驾驶证。醉酒驾驶机动车的，由公安机关交通管理部门约束至酒醒，吊销机动车驾驶证，依法追究刑事责任；五年内不得重新取得机动车驾驶证。
二、醉驾可以判缓刑和监外执行吗
醉驾可以判缓刑和监外执行。友情提醒，符合以下条件的，可以判缓刑：因危险驾驶罪被判拘役；犯罪情节较轻；没有再犯罪的危险；有悔罪表现；宣告缓刑对所居住社区没有重大不良影响。对被拘役的罪犯，有下列情形之一的，可以暂予监外执行：有严重疾病需要保外就医的；怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女等。
三、醉驾案底几年后可消除
醉驾案底一旦产生，便终身保存，不得撤销。案底一般指某人过去犯法或犯罪行为的记录，又称犯罪人员犯罪记录制度。机动车驾驶人有醉驾行为的，构成危险驾驶罪，处拘役，并处罚金。
法律依据：根据《刑事诉讼法》第二百八十六条规定，犯罪的时候不满十八周岁，被判处五年有期徒刑以下刑罚的，应当对相关犯罪记录予以封存。犯罪记录被封存的，不得向任何单位和个人提供，但司法机关为办案需要或者有关单位根据国家规定进行查询的除外。依法进行查询的单位，应当对被封存的犯罪记录的情况予以保密。