刑事立案监督权是由人民检察院行使。法律规定检察院依法对刑事诉讼进行监督，其中就包括对立案的监督。检察院认为公安机关在立案过程中没有依照法定程序立案，或者没有正确立案，不立案理由不成立，有权通知公安机关立案。刑事立案监督权是由哪个国家机关行使的法律依据
《刑事诉讼法》第八条
人民检察院依法对刑事诉讼实行法律监督。
《刑事诉讼法》第一百一十三条
人民检察院认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查的，或者被害人认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查，向人民检察院提出的，人民检察院应当要求公安机关说明不立案的理由。人民检察院认为公安机关不立案理由不能成立的，应当通知公安机关立案，公安机关接到通知后应当立案。